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KNU 방재전문대학원
일단 뭐든 해보자고.

9 분 소요

👨‍💻🏫KNU 2022-1 SW & media 수치해석 필기노트 3

3. 선형 연립 방정식 계의 해(이어서)

예제1. 크레머 방식으로 선형방정식 계의 해 구하기

\[2x_{1}+4x_{2}+x_{3}=-2,\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.5,\\3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=2\]
  1. inv: 역행렬 계산
  2. det: 행렬식 계산
  3. solve: 선형 연립방정식계의 해 찾기 (cf. scipy.linalg 에 포함된 함수)
import numpy as np
A = np.array([[2, 4, 1], 
              [1, 2, 1],
              [3, 4, 2]])
Y = np.array([-2, 0.5, 2])
print("AX=Y의 좌변 행렬: ")
print(A)
print("AX=Y의 우변 벡터: ")
print(Y)
print("행렬 A의 행렬식: ", np.linalg.det(A))
# 방법1: 계산된 역행렬 이용
X1 = np.linalg.inv(A) @ Y
#X1 = np.linalg.inv(A) @ Y.T
#X1 = np.round(np.linalg.inv(A) @ Y,16)
print(X1)
# 방법2: 역행렬 계산과 다른 방법 (예: 행렬 분해 기반의 방법)
X2 = np.linalg.solve(A,Y)
#X2 = np.linalg.solve(A,Y.T)
#X2 = np.round(np.linalg.solve(A,Y),16)
print(X2)
diffX = X1 - X2   # 2개의 다른 알고리즘(inv, solve)으로 구현된 함수를 이용하여 찾아진 해 비교(X1 vs X2)
print(diffX)
\[x_{1}=\frac{det(A_{(1)})}{det(A)}=\frac{2}{2}=1\\x_{2}=\frac{-3.5}{2}=1.75\\x_{3}=\frac{6}{2}=3\]

2. Gaussian Elimination

ex) 다음 대각 행렬을 보자

\[A= \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix}\\ x1=\frac{y1}{a}\\ x2=\frac{y2}{b}\\ x3=\frac{y3}{c}\\\]

그러면 다음 경우는 어떨까? ‘?’는 0이 아닌 특정값이다.

\(A= \begin{pmatrix} a & ? & ? \\ 0 & b & ? \\ 0 & 0 & c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix}\) 연립이지만 아래에서부터 올라가면 각각을 분리 가능하다!

\[x3*c=y3 \Rightarrow \textcolor{red}{x3}=\frac{y3}{c}\\ (x2*b)+(\textcolor{red}{x3}*?)=y2 \Rightarrow \textcolor{green}{x2}= ??? \\ (x1*a)+(\textcolor{green}{x2}*?)+(\textcolor{red}{x3}*?)=y1 \Rightarrow x1= ??? \\\]

$AX=y$ $\Rightarrow$ ForwardElimination(전방소거)
$\Rightarrow$ $\coprod X=Z$ $\Rightarrow$ BackwardSubstitution(후방대입)
$\Rightarrow$ 해( $X$ ) 찾기

1. 전방소거

1.연립방정식의 일반형
\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdots +a_{1n}x_{n}=y_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\cdots +a_{2n}x_{n}=y_{2},\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\cdots +a_{3n}x_{n}=y_{3},\\ \vdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+\cdots +a_{nn}x_{n}=y_{n}\]
2. $a_{i1}(i \geqq )$들의 전방 소거 결과 연립방정식계
\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdots +a_{1n}x_{n}=y_{1}\\ a_{22}'x_{2}+a_{23}'x_{3}+\cdots +a_{2n}'x_{n}=y_{2}'\\ a_{32}'x_{2}+a_{33}'x_{3}+\cdots +a_{3n}'x_{n}=y_{3}'\\ \vdots\\ a_{n2}'x_{2}+a_{n3}'x_{3}+\cdots +a_{nn}'x_{n}=y_{n}'\]

‘는 소거로 인해 변화된 값이며 $a_{ij}’=a_{ij}-(a_{i1}/a_{11})a_{ij},\ y_{i}’=y_{i}-(a_{i1}/a_{11})y_{1}$임

3. $a_{i1}(i \geqq )$들의 전방 소거 결과 연립방정식계
\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdots +a_{1n}x_{n}=y_{1}\\ a_{22}'x_{2}+a_{23}'x_{3}+\cdots +a_{2n}'x_{n}=y_{2}'\\ a_{33}''x_{3}+\cdots +a_{3n}''x_{n}=y_{3}''\\ \vdots\\ a_{nn}^{(n-1)}x_{n}=y_{n}^{(n-1)}\]

2. 후방대입

\[x_{n}=y_{n}^{(n-1)}/a_{nn}^{(n-1)},\\x_{n-1}=(y_{n-1}^{(n-2)}/a_{n-2,n-1}^{(n-1)})/a_{n-1,n-1}^{(n-1)} \\ \vdots \\x_{1}=(y_1- \Sigma^{n}_{i=2} a_{1i}x_i)a_{11}\]

예제2. 가우스 소거법으로 선형방정식 계의 해 구하기

\[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 2\\ 3 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ -2 \end{pmatrix}\]

풀이 과정

\[AX=Y\\ A^{1,1}X=Y^{1}\\ A^{2,1}X=Y^{2}\\ \vdots\\ \coprod X=Z\]

A를 확장행렬로 나타낸 결과

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & : & 6 \Rightarrow R1\\ 2 & -3 & 2 & : & 14 \Rightarrow R2\\ 3 & 1 & -1 & : & -2 \Rightarrow R3\\ \end{pmatrix}\]

2,3,을 0으로 만들기 위해 빼줄것이다. $a_{1,1}$은 1이므로 상수배를 하면 소거 가능하다 $m_{y,x}= a{y,x}$를 0으로 만드는 수

\[m_{2,1}=\frac{a_{2,1}}{a_{1,1}}=2 \Rightarrow R_2-m_{2,1}R1 \Rightarrow R_2-2*R1\\ m_{3,1}=\frac{a_{3,1}}{a_{1,1}}=3 \Rightarrow R_3-m_{3,1}R1 \Rightarrow R_3-3*R1\\ \\ = \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & : & 6 \Rightarrow R1\\ 2-(2*1) & -3-(2*2) & 2-(2*3) & : & 14-(2*6) \Rightarrow R2\\ 3-(3*1) & 1-(3*2) & -1-(3*3) & : & -2-(3*6) \Rightarrow R3\\ \end{pmatrix}\\ = \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & : & 6 \Rightarrow R1\\ 0 & -7 & -4 & : & 2 \Rightarrow R2\\ 0 & -5 & -10 & : & -20 \Rightarrow R3\\ \end{pmatrix}\] \[m_{3,2}=\frac{a_{3,2}}{a_{2,2}}=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7} \cdots\]

계산결과

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -7 & 4\\ 0 & 0 & -\frac{50}{7} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ \frac{-150}{7} \end{pmatrix}\] \[x_{1}=1 \\ x_{2}=-2 \\ x_{3}=3 \\\]

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참고