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KNU 방재전문대학원
일단 뭐든 해보자고.

8 분 소요

👨‍💻🏫KNU 2022-1 SW & media 수치해석 필기노트 1

1. 수치해석

수치 해석은 문제의 해결순서이다.

  1. 문제의 제시
  2. 모델 찾기
  3. 계산 알고리즘 구성
  4. 계산 프로그램 구성
  5. 프로그램 실행
  6. 계산결과의 검토

2. 수치알고리즘

  • 풀이방법의 효율성(big-O notation-계산비용은 시간과 메모리효율)
  • 정해를 찾을수있는건 사실상 4차 방정식까지, 그 이상은 해의 유무만을 수치적 해석 가능하다
  • 머신(컴퓨팅)오차의 except된 오차는 최대한 줄여야하는것
  • 프로그램작성의 용이성

참고: 머신입실론

import numpy as np
print(np.finfo(float).eps)

3. 행렬

  • 장방행렬: 직사각형 행렬이다. ( np.array(a,b).reshape(m,n) (m!=n))
  • 정방행렬: 정사각형 행렬이다. ( np.array(a,b).reshape(m,n) (m==n))
  • 역행렬: 행렬 $A$에 대한 역원으로 $A^{-1}$이며 $A^{-1}A$는 $I$이다.
  • 항등행렬: ($I$)->단위행렬: 정수 계산에서의 1과 같다.(np.identity(n))
  • 영행렬: np.zeros(n,m)
  • 전치행렬: $A^t$–> 행과 열의 요소와 치를 바꿈np.transpose
  • 대각행렬: 행렬$A$의 대각요소만이 존재하는 벡터np.eye(n,m)
  • 삼각행렬: 정방행렬에서 주대각 상,하가 0인 행렬
  • 대칭행렬: 원행렬과 전치행렬이 깉은 행렬

참고: 행렬곱 기호 주의사항

a=np.array([[3,4,5],[6,7,8],[9,1,2]])
b=np.array([[8,7,6],[5,4,3],[2,1,0]])

print('product by *(scala)\n',a*b)
print('product by @\n',a@b)

* case
[[24 28 30]
[30 28 24]
[18 1 0]]
@ case
[[54 42 30]
[99 78 57]
[81 69 57]]

*로 계산시 위치에따라 곱셈을 수행, @로 계산시 행렬곱(내적)

4. 항등행렬이 몫일때 행렬의 나눗셈

두근거림행렬곱을 떠올리는거야!

\[C=A_{m,n}@B_{n,r} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,r} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \cdots & b_{n,r} \end{pmatrix} \\ C_{i,j}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}\cdots+A_{in}B_{nj}=\sum_{k = 1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}\]

*이 해를 구하는 과정이 행렬의 나눗셈!!*

$1/2=x$ 를 구하는 과정은 $2x=1$-> $(1/2)2x=(1/2)1$->$1x=0.5$ 행렬에도 이 원리를 사용한다.

\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^{-1}=\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

y가 단위행렬일때 x 역행렬 $x^{-1}$ 임을 알수있다.

참고: 역행렬 공식

\[\begin{pmatrix}a, b\\ c, d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d, -b\\ -c, a\end{pmatrix}\]

5. 행렬과 변환

x,y평면에 함수그래프로 표현된 이미지가있다. 이를 x축기준으로 1/2로 변환하기위해선 다음과 같은 방식을 사용 할수있다.

이거 컴퓨터그래픽스 수업때 배웠음!

\[\begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5x \\ y \\ \end{pmatrix}\]

마찬가지로 시계방향으로 일정 각도 기울인 도형을 그리기 위해선 다음과 같은 방식을 사용 할수있다.

\[R\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\cos\theta*x)+(-\sin\theta*y) \\ (\sin\theta*x)+(\cos\theta*y) \\ \end{pmatrix}\]

참고 할 만한 자료: 위키백과

6. 행렬과 관계

행렬은 연립 방정식으로 표현가능하다

6.1. 하나의 교점을 가지는 연립방정식

\[\begin{pmatrix}1, -1\\ 1, +1\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{cases}x-y=-1\\x+y=1\end{cases}\]

6.2. 절편으로 평행하거나 일치하는 연립방정식

\[\begin{pmatrix}1, -1\\ 1, -1\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ ?\end{pmatrix} = \begin{cases}x-y=-1\\x-y=?\end{cases}\]

6.3. 계산예시

\[\begin{pmatrix}1, 2\\ 2, 3\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\ 8\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1, 2\\ 2, 3\end{pmatrix}^{-1} * \begin{pmatrix}5\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-3, 2\\ 2, -1\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}5\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\ x=1,y=2\]

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참고